Khái niệm về dòng rối của Richardson: một dòng chảy rối bao gồm các "xoáy rối" với các kích thước khác nhau. Các kích thước này cũng tức là các kích cỡ chiều dài đặc trưng của các xoáy rối và các xoáy rối còn được đặc trưng bởi kích cỡ vận tốc dòng chảy và kích cỡ thời gian (thời gian quay vòng) phụ thuộc vào kích cỡ chiều dài. Các xoáy rối lớn là không ổn định và cuối cùng bị phân chia thành các xoáy rối nhỏ hơn, và động năng của xoáy lớn ban đầu được chia cho các xoáy rối nhỏ hơn. Những xoáy nhỏ này trải qua quá trình tương tự, tạo ra các xoáy rối nhỏ hơn nữa kế thừa năng lượng của chúng, và quá trình này cứ tiếp tục như vậy. Bằng cách này, năng lượng được truyền từ (xoáy rối) kích cỡ lớn xuống các xoáy rối kích cỡ nhỏ hơn cho đến khi đạt đến một kích cỡ chiều dài đủ nhỏ mà tại đó độ nhớt của chất lưu có thể làm tiêu tan động lượng trở thành năng lượng nội tại một cách hiệu quả.

Trong lý thuyết ban đầu năm 1941, Kolmogorov mặc nhiên công nhận rằng với các số Reynolds rất cao, các chuyển động rối kích cỡ nhỏ là đẳng hướng về mặt thống kê (nghĩa là tất cả các hướng đều phải được tính đến). Nhìn chung, các xoáy rối kích cỡ lớn của một dòng chảy là không đẳng hướng, bởi vì chúng được tạo ra bởi các đặc điểm hình học cụ thể của các đường biên (kích thước đặc trưng cho các xoáy rối kích cỡ lớn sẽ được ký hiệu là L). Ý tưởng của Kolmogorov là trong thác năng lượng của Richardson thông tin hình học và phương hướng này bị mất, trong khi kích cỡ bị giảm, do đó số liệu thống kê của các (xoáy rối) kích cỡ nhỏ có một đặc tính phổ quát: chúng giống nhau cho tất cả các dòng chảy rối khi số Reynolds đủ lớn.

Vì vậy, Kolmogorov đã giới thiệu một giả thuyết thứ hai: đối với các số Reynolds rất cao số liệu thống kê của các (xoáy rối) kích cỡ nhỏ được xác định phổ quát và độc nhất bởi độ nhớt động học ( ν {\displaystyle \nu } ) và tốc độ tiêu hao năng lượng ( ε {\displaystyle \varepsilon } ). Chỉ với hai thông số này, chiều dài độc nhất có thể được hình thành bằng cách phân tích thứ nguyên là:

η = ( ν 3 ε ) 1 / 4 {\displaystyle \eta =\left({\frac {\nu ^{3}}{\varepsilon }}\right)^{1/4}} .

giá trị này ngày nay được gọi là kích cỡ chiều dài Kolmogorov (xem kích cỡ vi mô Kolmogorov).

Một dòng chảy rối đặc trưng bởi một hệ thống phân cấp các kích cỡ (xoáy rối) mà thông qua đó thác năng lượng diễn ra. Tiêu tán động lượng diễn ra tại các (xoáy rối) kích cỡ cùng bậc (order) với chiều dài Kolmogorov η {\displaystyle \eta } trong khi năng lượng đầu vào của thác đến từ sự phân rã của các (xoáy rối) kích cỡ lớn, bậc L. Hai kích cỡ này tại hai đầu của thác năng lượng có thể khác nhau vài bậc độ lớn nếu số Reynolds lớn. Ở giữa có một dãy các (xoáy rối) có kích cỡ (mỗi kích cỡ có chiều dài đặc trưng riêng r) đã hình thành từ năng lượng của các (xoáy rối) kích cỡ lớn hơn. Những kích cỡ (xoáy rối) này rất lớn so với chiều dài Kolmogorov, nhưng vẫn còn rất nhỏ so với kích cỡ (xoáy rối) lớn của dòng chảy (nghĩa là η ≪ r ≪ L {\displaystyle \eta \ll r\ll L} ). Bởi vì các xoáy rối trong dãy (kích cỡ) này lớn hơn nhiều so với các xoáy rối tiêu tán (năng lượng) tồn tại ở kích cỡ Kolmogorov, động lượng về cơ bản không tiêu tán trong dãy (kích cỡ) này, và nó chỉ được truyền cho kích cỡ nhỏ hơn cho đến khi các hiệu ứng nhớt trở nên quan trọng khi xuống đến bậc của kích cỡ Kolmogorov. Trong dãy này các lực quán tính vẫn lớn hơn nhiều so với lực nhớt, và có thể giả định rằng độ nhớt không đóng một vai trò nào trong động lực học nội tại của chúng (vì lý do này dãy này được gọi là "lớp quán tính").

Do đó, Kolmogorov đưa ra một giả thuyết thứ ba đó là với các số Reynolds rất cao số liệu thống kê về các kích cỡ trong phạm vi η ≪ r ≪ L {\displaystyle \eta \ll r\ll L} được xác định phổ quát và độc nhất bởi kích cỡ r và tốc độ tiêu hao năng lượng ε {\displaystyle \varepsilon } .

Cách thức mà động năng được phân phối trên nhiều kích cỡ là một đặc trưng cơ bản của dòng chảy rối. Đối với các dòng rối đồng nhất (tức là, bất biến về mặt thống kê khi thay đổi trục tọa độ) điều này thường được thực hiện bằng các phương pháp hàm phổ năng lượng E ( k ) {\displaystyle E(k)} ,trong đó k là mô đun của vector sóng tương ứng với một số hàm điều hòa trong đại diện Fourier của trường vận tốc dòng chảy 'u(x)': 

u ( x ) = ∭ R 3 u ^ ( k ) e i k ⋅ x d 3 k {\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} )=\iiint _{\mathbb {R} ^{3}}{\widehat {\mathbf {u} }}(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k\cdot x} }\mathrm {d} ^{3}\mathbf {k} } ,

trong đó û(k) là biến đổi Fourier của trường vận tốc dòng chảy. Như vậy, E(k)dk đại diện cho sự đóng góp vào động năng của tất cả các Fourier modes với k < |k| < k + dk, và do đó:

1 2 ⟨ u i u i ⟩ = ∫ 0 ∞ E ( k ) d k {\displaystyle {\frac {1}{2}}\langle u_{i}u_{i}\rangle =\int _{0}^{\infty }E(k)\mathrm {d} k} ,

trong đó,  1 / 2 ⟨ u i u i ⟩ {\displaystyle 1/2\langle u_{i}u_{i}\rangle }  là động năng rối trung bình của dòng chảy. Số sóng k tương ứng với kích cỡ chiều dài r là  k = 2 π / r {\displaystyle k=2\pi /r} . Vì vậy, bằng cách phân tích thứ nguyên, dạng thức có thể duy nhất cho hàm phổ năng lượng theo với giả thiết thứ ba của Kolmogorov là:

E ( k ) = C ε 2 / 3 k − 5 / 3 {\displaystyle E(k)=C\varepsilon ^{2/3}k^{-5/3}} ,

trong đó C là một hằng số phổ quát. Đây là một trong những kết quả nổi tiếng nhất của lý thuyết  Kolmogorov 1941 và đã có nhiều bằng chứng thực nghiệm hỗ trợ nó.[16]

Mặc dù với thành công này, thì hiện nay lý thuyết Kolmogorov vẫn đang được xem xét lại. Lý thuyết này ngầm giả định rằng sự rối loạn là một quá trình tự tương đồng về mặt thống kê ở các kích cỡ khác nhau. Điều này về cơ bản có nghĩa là các số liệu thống kê là bất biến về mặt kích cỡ (scale-invariant) trong lớp quán tính. Một phương pháp thông thường để nghiên cứu các trường vận tốc dòng chảy rối đó là phương pháp số gia vận tốc dòng chảy:

δ u ( r ) = u ( x + r ) − u ( x ) {\displaystyle \delta \mathbf {u} (r)=\mathbf {u} (\mathbf {x} +\mathbf {r} )-\mathbf {u} (\mathbf {x} )} ;

nó là, sự khác nhau về vận tốc dòng chảy giữa các điểm cách nhau một vector r (bởi vì dòng rối được giả định đẳng hướng, sự gia tăng vận tốc dòng chảy chỉ phụ thuộc vào các mô đun của r). Sự gia tăng vận tốc dòng chảy là hữu ích vì chúng nhấn mạnh ảnh hưởng của các kích cỡ bậc r trong tính toán các số liệu thống kê. Sự bất biến về mặt thống kê của các kích cỡ có nghĩa là kích cỡ của các số gia vận tốc dòng chảy nên xảy ra với một số mũ tỉ lệ độc nhất β {\displaystyle \beta } ,vì vậy khi r được thu phóng (scaled) bởi một hệ số λ {\displaystyle \lambda } ,

δ u ( λ r ) {\displaystyle \delta \mathbf {u} (\lambda r)}

nên có sự phân bố thống kê giống như:

λ β δ u ( r ) {\displaystyle \lambda ^{\beta }\delta \mathbf {u} (r)} ,

với β {\displaystyle \beta } độc lập với kích cỡ r. Từ thực tế này, và các kết quả khác của lý thuyết Kolmogorov 1941, suy ra rằng những moment thống kê của các số gia vận tốc dòng chảy (được gọi là các hàm cấu trúc trong dòng rối) nên thu phóng (scale) như sau:

⟨ [ δ u ( r ) ] n ⟩ = C n ε n / 3 r n / 3 {\displaystyle \langle [\delta \mathbf {u} (r)]^{n}\rangle =C_{n}\varepsilon ^{n/3}r^{n/3}} ,

trong đó các dấu ngoặc biểu thị giá trị thống kê trung bình, và C n {\displaystyle C_{n}} là các hằng số phổ quát.

Có bằng chứng quan trọng rằng các dòng chảy rối đi chệch khỏi lối ứng xử (công thức) này. Các số mũ tỉ lệ không giống với giá trị dự đoán lý thuyết n/3, mà là một hàm phi tuyến tính bậc n của hàm cấu trúc. Tính phổ quát của các hằng số cũng bị đặt câu hỏi. Đối với các bậc thấp sự không nhất quán với giá trị Kolmogorov n/3 là rất nhỏ, điều này giải thích cho sự thành công của lý thuyết Kolmogorov cho những moment thống kê bậc thấp. Cụ thể, có thể cho thấy rằng khi phổ năng lượng tuân theo một định luật mũ:

E ( k ) ∝ k − p {\displaystyle E(k)\propto k^{-p}} ,

với 1 < p < 3 {\displaystyle 1<p<3} hàm cấu trúc bậc hai cũng có một định luật mũ, dưới dạng:

⟨ [ δ u ( r ) ] 2 ⟩ ∝ r p − 1 {\displaystyle \langle [\delta \mathbf {u} (r)]^{2}\rangle \propto r^{p-1}} ,

Bởi vì các giá trị thực nghiệm đạt được cho hàm cấu trúc bậc hai chỉ lệch một chút so với giá trị 2/3 được dự đoán bởi lý thuyết Kolmogorov, giá trị của p là rất gần với giá trị 5/3 (chênh lệch khoảng 2%[17]). Do đó, "Phổ Kolmogorov -5/3" thường được quan sát thấy trong dòng chảy rối. Tuy nhiên, đối với các hàm cấu trúc bậc cao, sự khác nhau so với kích cỡ Kolmogorov là quan trọng, và sự sụp đổ của lý thuyết tự tương đồng thống kê là rõ ràng. Điều này cộng với sự thiếu tính phổ quát của các hằng số C n {\displaystyle C_{n}} có liên quan đến những hiện tượng chưa giả thích được trong dòng rối. Đây là một lĩnh vực nghiên cứu quan trọng và mục tiêu chính của các lý thuyết hiện đại về dòng rối là phải hiểu điều gì là thực sự phổ quát trong lớp quán tính.